Edellisessä luvussa tutustuimme $xy$-koordinaatistoon, jonka avulla voidaan kuvata tason pisteitä ja vektoreita. Kolmiulotteisen avaruuden pisteitä ja vektoreita voidaan kuvata niin sanotun $xyz$-koordinaatiston avulla. Tämä koordinaatisto saadaan $xy$-koordinaatistosta lisäämällä siihen yksi akseli, joka on kohtisuorassa sekä $x$-akselia että $y$-akselia vastaan. Kolmatta akselia sanotaan $z$-akseliksi.

Yllä olevassa kuvassa $z$-akseli suuntautuu kohti katsojaa. Kolmiulotteista koordinaatistoa voidaan katsoa muistakin suunnista, jolloin esimerkiksi $x$-akseli saattaa suuntautua kohti katsojaa, kuten alla olevassa kuvassa. Koordinaattiakselien keskinäiset suunnat pysyvät kuitenkin samoina. Niitä voidaan havainnollistaa oikean käden sormien avulla: peukalo vastaa $x$-akselia, etusormi $y$-akselia ja keskisormi $z$-akselia.

Kolmiulotteisen avaruuden piste $P$ ilmaistaan lukukolmikkona $(x,y,z)$, missä ensimmäiset kaksi lukua ilmoittavat pisteen paikan $x$- ja $y$-akseleiden suhteen ja kolmas koordinaatti kertoo, missä piste sijaitsee $z$-akselin suunnassa origoon verrattuna. Alla olevassa kuvassa on havainnollistettu $xyz$-koordinaatiston pisteitä $S=(1,0,4)$ ja $R = (3,2,2)$.

Yllä olevasta kuvasta nähdään myös, miten $xyz$-koordinaatisto yleensä piirretään. Katsojaa kohti tuleva akseli piirretään 135 asteen kulmassa oikealle suuntautuvaan akseliin nähden. Lisäksi katsojaa kohti tulevan akselin yksikön pituudeksi valitaan noin puolet muiden akseleiden yksikön pituudesta, jotta vaikutelmasta tulee kolmiulotteinen.

Esimerkiksi yllä olevassa kuvassa $x$- ja $y$-akseleiden yksiköksi on valittu kolme ruutua ja $z$-akselin yksikön pituudeksi yhden ruudun lävistäjä eli $\sqrt{2}\approx 1{,}4$ ruutua.

Kolmiulotteisessa koordinaatistossa kaikki vektorit voidaan esittää koordinaattiakselien suuntaisten yksikkövektoreiden avulla samaan tapaan kuin $xy$-tasossa. Erona on, että koordinaattiakselien suuntaisia yksikkövektoreita on nyt kolme: $\vi$, $\vj$ ja $\vk$. Niitä on havainnollistettu alla olevassa kuvassa.

Pisteen $P = (x,y,z)$ paikkavektori määritellään kolmiulotteisessa koordinaatistossa samaan tapaan kuin $xy$-tasossa: pisteen $P = (x,y,z)$ paikkavektori tarkoittaa vektoria, jonka alkupiste on origo ja loppupiste on $P$.

Kolmiulotteisessa koordinaatistossa nollavektori tarkoittaa vektoria $\bar{0} = 0\vi + 0\vj + 0\vk$. Se on origon eli pisteen $O = (0,0,0)$ paikkavektori.

Vektoreiden summa ja erotus lasketaan $xyz$-koordinaatistossa samaan tapaan kuin $xy$-koordinaatistossa eli komponenteittain. Esimerkiksi vektoreiden $\vv = \textcolor{blue}{2}\vi \textcolor{red}{-5}\vj + \textcolor{magenta}{3}\vk$ ja $\vw = \textcolor{blue}{-7}\vi + \textcolor{red}{9}\vj + \textcolor{magenta}{8}\vk$ summa on $$ \begin{align*} \vv + \vw &= (\textcolor{blue}{2-7})\vi + (\textcolor{red}{-5}+\textcolor{red}{9})\vj + (\textcolor{magenta}{3}+\textcolor{magenta}{8})\vk \\ &= \textcolor{blue}{-5}\vi + \textcolor{red}{4}\vj + \textcolor{magenta}{11}\vk \end{align*} $$ ja erotus on $$ \begin{align*} \vv - \vw &= (\textcolor{blue}{2}-(\textcolor{blue}{-7}))\vi + (\textcolor{red}{-5}-\textcolor{red}{9})\vj + (\textcolor{magenta}{3}-\textcolor{magenta}{8})\vk \\ &= \textcolor{blue}{9}\vi \textcolor{red}{- 14}\vj \textcolor{magenta}{- 5}\vk. \end{align*} $$

Summan ja erotuksen määrittäminen piirtämällä on $xyz$-koordinaatistossa hankalampaa kuin $xy$-koordinaatistossa, koska tarkkojen kolmiulotteisten kuvien piirtäminen on usein vaikeaa. Summaa ja erotusta voidaan kuitenkin havainnollistaa mallikuvilla. Summavektori saadaan muodotettua laittamalla yhteenlaskettavat vektorit peräkkäin ja piirtämällä vektori ensimmäisen yhteenlaskettavan alkupisteestä viimeisen yhteenlaskettavan loppupisteeseen. Tätä on havainnollistettu alla olevassa kuvassa.

Erotusvektori $\vv - \vw$ saadaan muodostettua laittamalla peräkkäin vektorit $\vv$ ja $-\vw$ kuten alla olevassa kuvassa.

Jos vektorit $\vv$ ja $\vw$ alkavat samasta pisteestä kuten alla olevassa kuvassa, löydetään erotusvektori $\vv - \vw$ etsimällä reitti, jossa kuljetaan ensin vektori $\vw$ vastakkaiseen suuntaan ja sen jälkeen vektori $\vv$. Tämä reitti vastaa summaa $-\vw + \vv$, joka on sama kuin $\vv-\vw$.

Tätä ideaa voidaan hyödyntää kahden pisteen välisen vektorin määrittämisessä samaan tapaan kuin $xy$-koordinaatistossa. Alla olevasta kuvasta voidaan päätellä, että vektori $\pv{AB}$ saadaan vähentämällä loppupisteen paikkavektorista $\pv{OB}$ alkupisteen paikkavektori $\pv{OA}$ eli $\pv{AB} = \pv{OB} - \pv{OA}$.

Myös vektorin kertominen reaaliluvulla tapahtuu $xyz$-koordinaatistossa samaan tapaan kuin $xy$-koordinaatistossa eli komponenteittain. Esimerkiksi vektorin $\vv = 2\vi - 5\vj + 3\vk$ skalaarimonikerta $-15\vv$ saadaan kertomalla kaikki komponentit luvulla $-15$. Siten $$ \begin{align*} -15\vv &= -15\cdot 2\vi + (-15) \cdot (-5)\vj + (-15)\cdot 3\vk \\ &= -30\vi + 75\vj - 45\vk. \end{align*} $$

Alla olevassa kuvassa piste $P$ jakaa janan $AB$ suhteessa $1:3$. Jana $AB$ muodostuu siis neljästä yhtä pitkästä osasta. Jana $AP$ on yhden osan mittainen ja jana $PB$ on kolmen osan mittainen. Tätä tietoa voidaan hyödyntää esimerkiksi pisteen $P$ paikkavektorin määrittämisessä. Sitä harjoitellaan seuraavassa tehtävässä.

Vektorin pituus saadaan $xyz$-koordinaatistossa laskettua Pythagoraan lauseen avulla, mutta sitä täytyy soveltaa useamman kerran. Alla olevan kuvan vektorin $\vv$ pituus voidaan selvittää laskemalla ensin kuvassa näkyvän suorakulmaisen särmiön pohjan lävistäjän $c$ pituus. Se saadaan Pythagoraan lauseen mukaisesta yhtälöstä $$a^2 + b^2 = c^2.$$ Tässä tapauksessa $c^2 = 2^2 + 3^2 = 13$, joten särmiön pohjan lävistäjän pituus on $c = \sqrt{13} \approx 3{,}6$.

Särmiön pohjan lävistäjän $c$ ja särmiön korkeuden $h$ avulla saadaan selville vektorin $\vv$ pituus, kun Pythagoraan lausetta sovelletaan alla olevassa kuvassa näkyvään suorakulmaiseen kolmioon. Pythagoraan lauseen mukaan $$|\vv|^2 = c^2 + h^2.$$ Edellä todettiin, että $c^2 = a^2 + b^2$, joten saadaan yhtälö $$|\vv|^2 = a^2 + b^2 + h^2.$$ Tässä tapauksessa $|\vv|^2 = 2^2 + 3^2 + 2^2 = 17$, joten $|\vv| = \sqrt{17} \approx 4{,}1$.

Koska toiseen potenssiin korotus tekee kaikista luvuista epänegatiivisia, voidaan vektorin pituus määritellä seuraavasti:

Edellisen tehtävän havainto voidaan yleistää seuraavaksi teoreemaksi:

Palautetaan mieleen, että yksikkövektori tarkoittaa vektoria, jonka pituus on 1. Edellisen teoreeman avulla saadaan johdettua lauseke annetun vektorin suuntaiselle yksikkövektorille:

Vektoreiden yhdensuuntaisuus määritellään $xyz$-koordinaatistossa samalla tavalla kuin $xy$-tasossa:

Vektoreiden yhdensuuntaisuuden tutkiminen johtaa usein yhtälöpariin tai yhtälöryhmään. Esimerkiksi jos halutaan määrittää vakio $t$ niin, että vektorit $\vv = 0{,}5\vi + t\vj + \vk$ ja $\vw = -\vi + 1{,}5\vj-2\vk$ ovat yhdensuuntaisia, on tutkittava yhtälöä $$\vv = r\vw.$$ Tämä yhtälö voidaan kirjoittaa muodossa $$0{,}5\vi + t\vj + \vk = r(-\vi + 1{,}5\vj-2\vk)$$ eli $$0{,}5\vi + t\vj + \vk = -r\vi + 1{,}5r\vj-2r\vk.$$ Vektoreiden samuuden määritelmän mukaan tämä yhtälö toteutuu, jos ja vain jos yhtälön eri puolilla olevat vektorit voidaan ilmaista samalla tavalla vektoreiden $\vi$, $\vj$ ja $\vk$ avulla eli $$ \left\{\begin{aligned} -r &= 0{,}5 \\ 1{,}5r &= t \\ -2r &= 1 \end{aligned}\right. $$ Ratkaistaan nyt tämä yhtälöryhmä eli etsitään kaikki sellaiset luvut $r$ ja $t$, joilla yhtälöryhmän kaikki yhtälöt toteutuvat.

Jos yhtälöryhmän ensimmäisen yhtälön molemmat puolet kerrotaan luvulla $-1$, saadaan yhtälö $$r = -0{,}5.$$ Se voidaan sijoittaa yhtälöryhmän toiseen yhtälöön, joka saadaan silloin kirjoitettua muodossa $$1{,}5\cdot (-0{,}5) = t.$$ Toisin sanottuna $$t = -0{,}75.$$ Tämä tarkoittaa, että yhtälöryhmän ainoa mahdollinen ratkaisu on $r = -0{,}5$ ja $t = -0{,}75$. Vielä on kuitenkin tarkistettava, että se todella on yhtälöryhmän ratkaisu. Tämä tehdään sijoittamalla nämä luvut alkuperäiseen yhtälöryhmään ja tarkistamalla, että kaikki yhtälöt toteutuvat: $$ \left\{\begin{aligned} -(-0{,}5) &= 0{,}5 \\ 1{,}5\cdot (-0{,}5) &= -0{,}75 \\ -2\cdot (-0{,}5) &= 1 \end{aligned}\right. $$ Kaikki yhtälöt toteutuvat, joten yhtälöryhmän $$ \left\{\begin{aligned} -r &= 0{,}5 \\ 1{,}5r &= t \\ -2r &= 1 \end{aligned}\right. $$ ratkaisu on $r = -0{,}5$ ja $t = -0{,}75$.

Yhtälö $$0{,}5\vi + t\vj + \vk = r(-\vi + 1{,}5\vj-2\vk)$$ siis toteutuu, jos ja vain jos $r = -0{,}5$ ja $t = -0{,}75$. Tästä voidaan päätellä, että vektorit $\vv = 0{,}5\vi + t\vj + \vk$ ja $\vw = -\vi + 1{,}5\vj-2\vk$ ovat yhdensuuntaisia, jos ja vain jos $t = -0{,}75$. Tällöin vektorit ovat vastakkaissuuntaisia, koska yhtälössä $\vv = r\vw$ esiintyvä kerroin $r$ on negatiivinen: $r = -0{,}5$.

Tutkitaan seuraavaksi yhtälöparia $$ \left\{\begin{aligned} x+2y &= 5 \\ 2x-3y &= 3. \end{aligned}\right. $$ Se voidaan ratkaista samaan tapaan kuin edellä tehtiin. Ratkaistaan ensin ylemmästä yhtälöstä toinen tuntematon, esimerkiksi $x$. Vähentämällä yhtälön $x + 2y = 5$ molemmilta puolilta $2y$ saadaan yhtälö $$x = 5-2y.$$ Se voidaan sijoittaa alempaan yhtälöön, joka saadaan silloin kirjoitettua muodossa $$2(5-2y) - 3y = 3.$$ Kerrotaan tämän yhtälön vasemmalla puolella sulut auki, jolloin yhtälö saadaan muotoon $$10-4y - 3y = 3.$$ Sieventämällä yhtälön vasen puoli saadaan se muotoon $$10-7y = 3.$$ Vähentämällä yhtälön molemmilta puolilta 10 saadaan uusi yhtälö $$-7y = -7.$$ Jakamalla tämän yhtälön molemmat puolet luvulla $-7$ saadaan $$y = 1.$$ Koska aiempien laskujen mukaan $x = 5-2y$, saadaan $$x = 5-2\cdot 1 = 5-2 = 3.$$ Tämä tarkoittaa, että yhtälöparin ainoa mahdollinen ratkaisu on $x = 3$ ja $y = 1$. Tarkistetaan vielä, että nämä luvut todella toteuttavat kummankin yhtälön: $$ \left\{\begin{aligned} 3+2\cdot 1 &= 3 + 2 = 5 \\ 2\cdot 3-3\cdot 1 &= 6-3 = 3. \end{aligned}\right. $$ Kaikki yhtälöt toteutuvat, joten yhtälöparin $$ \left\{\begin{aligned} x+2y &= 5 \\ 2x-3y &= 3. \end{aligned}\right. $$ ratkaisu on $x = 3$ ja $y = 1$.

Edellä tarkastellun yhtälöparin $$ \left\{\begin{aligned} x+2y &= 5 \\ 2x-3y &= 3. \end{aligned}\right. $$ ratkaisua voidaan havainnollistaa seuraavasti: Ensimmäinen yhtälö $x + 2y = 5$ voidaan kirjoittaa muodossa $2y = 5-x$ ja edelleen muodossa $$y = \frac{5-x}{2}.$$ Sen toteuttavia lukupareja $(x,y)$ on vaikka kuinka paljon, sillä luvuksi $x$ voidaan valita mikä tahansa reaaliluku ja sen jälkeen vastaava $y$:n arvo saadaan yllä olevasta yhtälöstä. Esimerkiksi jos $x = 0$, saadaan $$y = \frac{5}{2} = 2{,}5.$$ Jos $x = 1$, saadaan $$y = \frac{4}{2} = 2.$$ Jos $x = 3$, saadaan $$y = \frac{2}{2} = 1.$$ Lukuparit $(0;2{,}5)$, $(1,2)$ ja $(3,1)$ ovat esimerkkejä yhtälön $x + 2y = 5$ ratkaisuista ja niitä voidaan havainnollistaa pisteinä koordinaatistossa:

Jos kerätään yhteen kaikki yhtälön $x + 2y = 5$ ratkaisut eli lukuparit, jotka ovat muotoa $$\left(x,\frac{5-x}{2}\right)$$ muodostavat ne koordinaatistoon suoran $$y = \frac{5}{2}-\frac{1}{2}x.$$

Toinen yhtälö $2x - 3y = 3$ voidaan kirjoittaa muodossa $-3y = 3-2x$ ja edelleen muodossa $$y = \frac{3-2x}{-3}.$$ Sen toteuttavia lukupareja $(x,y)$ on myös vaikka kuinka paljon, sillä luvuksi $x$ voidaan valita mikä tahansa reaaliluku ja sen jälkeen vastaava $y$:n arvo saadaan yllä olevasta yhtälöstä. Esimerkiksi jos $x = 0$, saadaan $$y = \frac{3}{-3} = -1.$$ Jos $x = 1{,}5$, saadaan $$y = \frac{0}{-3} = 0.$$ Jos $x = 3$, saadaan $$y = \frac{-3}{-3} = 1.$$ Lukuparit $(0,-1)$, $(1{,}5;0)$ ja $(3,1)$ ovat esimerkkejä yhtälön $2x - 3y = 3$ ratkaisuista ja niitä voidaan havainnollistaa pisteinä koordinaatistossa:

Jos kerätään yhteen kaikki yhtälön $2x - 3y = 3$ ratkaisut eli lukuparit, jotka ovat muotoa $$\left(x,\frac{3-2x}{-3}\right),$$ muodostavat ne koordinaatistoon suoran $$y = -1+\frac{2}{3}x.$$

Yhtälöparin $$ \left\{\begin{aligned} x+2y &= 5 \\ 2x-3y &= 3. \end{aligned}\right. $$ ratkaisut ovat täsmälleen ne lukuparit $(x,y)$, jotka toteuttavat sekä yhtälön $x+2y = 5$ että yhtälön $2x-3y = 3$. Toisin sanottuna tutkittavan yhtälöparin ratkaisut ovat näitä yhtälöitä vastaavien suorien leikkauspisteet:

Yllä olevasta kuvasta havaitaan, että yhtälöparilla $$ \left\{\begin{aligned} x+2y &= 5 \\ 2x-3y &= 3. \end{aligned}\right. $$ on tasan yksi ratkaisu, joka määritettiin jo aikaisemmin laskemalla: $x = 3$ ja $y = 1$.

Yhtälöparin ratkaisujen lukumäärää voidaan siis tutkia graafisesti. Esimerkiksi yhtälöpari $$ \left\{\begin{aligned} -2x+y &= -3 \\ 4x-2y &= 3 \end{aligned}\right. $$ voidaan kirjoittaa myös muodossa $$ \left\{\begin{aligned} y &= 2x-3 \\ -2y &= -4x+3 \end{aligned}\right. $$ ja edelleen muodossa $$ \left\{\begin{aligned} y &= 2x-3 \\ y &= 2x-\frac{3}{2}. \end{aligned}\right. $$ Näitä yhtälöitä vastaavat suorat ovat yhdensuuntaiset, kuten alla olevasta kuvasta nähdään:

Tarkasteltavalla yhtälöparilla ei siis ole yhtään ratkaisua. Samaan tulokseen päädytään myös laskennallisesti: Yhtälöparin ensimmäinen yhtälö voidaan kirjoittaa muodossa $y = 2x-3$. Jos se sijoitetaan toiseen yhtälöön, saadaan yhtälö $$4x-2(2x-3) = 3.$$ Sieventämällä yhtälön vasenta puolta saadaan $$4x-4x+6 = 3$$ eli $$6 = 3.$$ Tämä yhtälö ei toteudu millään tuntemattomien $x$ ja $y$ arvoilla, joten yhtälöparilla ei ole yhtään ratkaisua.

Edellä on tarkasteltu yhtälöpareja, jotka ovat muotoa $$ \left\{\begin{aligned} ax+by &= c \\ mx+ny &= k, \end{aligned}\right. $$ missä $a$, $b$, $c$, $m$, $n$ ja $k$ ovat reaalilukuja. Tällaisia yhtälöpareja sanotaan ensimmäisen asteen yhtälöpareiksi. Edellä nähtiin, että tällaisella ensimmäisen asteen yhtälöparilla voi olla tasan yksi ratkaisu tai ei yhtään ratkaisua riippuen siitä, onko yhtälöparia vastaavilla suorilla leikkauspiste vai ei. Näiden vaihtoehtojen lisäksi on vielä kolmaskin mahdollisuus: yhtälöparin kumpikin yhtälö voi vastata samaa suoraa. Tällöin yhtälöparilla on äärettömän paljon ratkaisuja, koska kyseisen suoran jokainen piste on yksi ratkaisu.

Yhtälöryhmiä, joissa yhtälöitä ja tuntemattomia on useampia, voidaan ratkaista samaan tapaan kuin edellä ratkaistiin kahden tuntemattoman yhtälöpareja. Esimerkiksi yhtälöryhmää $$ \left\{\begin{aligned} x-3y-2z &= 0 \\ -x+2y-\phantom{2}z &= -5 \\ 3x+4y+\phantom{2}z &= 1 \end{aligned}\right. $$ ratkaistaessa voidaan ensin ratkaista ylimmästä yhtälöstä $x$: $$x = 3y+2z.$$ Se voidaan sijoittaa kahteen alempaan yhtälöön: $$ \left\{\begin{aligned} -(3y+2z)+2y-z &= -5 \\ 3(3y+2z)+4y+z &= 1 \end{aligned}\right. $$ Kertomalla sulut auki yhtälöt saadaan muotoon $$ \left\{\begin{aligned} -3y-2z+2y-z &= -5 \\ 9y+6z+4y+z &= 1. \end{aligned}\right. $$ Sievennetään vielä yhtälöiden vasemmat puolet, jolloin ne näyttävät tältä: $$ \left\{\begin{aligned} -y-3z &= -5 \\ 13y+7z &= 1. \end{aligned}\right. $$ Koko yhtälöryhmä on siis tässä vaiheessa $$ \left\{\begin{aligned} x &= 3y+2z \\ -y-3z &= -5 \\ 13y+7z &= 1. \end{aligned}\right. $$ Ratkaistaan keskimmäisestä yhtälöstä $y$ muutaman välivaiheen kautta, jolloin saadaan $$y = 5-3z.$$ Tässä kannattaa itse miettiä kynän ja paperin kanssa, millaisia välivaiheita ratkaisussa oli. Sijoitetaan saatu $y$:n lauseke alimpaan yhtälöön: $$13(5-3z)+7z = 1.$$ Kertomalla sulut auki yhtälö saadaan muotoon $$65-39z+7z = 1.$$ Tästä saadaan ratkaistua $$-32z = -64$$ eli $$z = \frac{-64}{-32} = 2.$$ Koko yhtälöryhmä on tässä vaiheessa $$ \left\{\begin{aligned} x &= 3y+2z \\ y &= 5-3z \\ z &= 2. \end{aligned}\right. $$ Kun nyt $z$:n arvo tunnetaan, saadaan muut tuntemattomat ratkaistua sen avulla vaiheittain: $$ \left\{\begin{aligned} z &= 2 \\ y &= 5-3z \\ &= 5-3\cdot 2 \\ &= 5-6 \\ &= -1\\ x &= 3y+2z \\ &= 3\cdot(-1) + 2\cdot 2 \\ &= -3+4 \\ &= 1. \end{aligned}\right. $$ Nämä laskut osoittavat, että tarkastellulla yhtälöryhmällä on enintään yksi ratkaisu. Tarkistetaan vielä sijoittamalla, että kaikki yhtälöt todella toteutuvat, jos $x = 1$, $y = -1$ ja $z = 2$: $$ \left\{\begin{aligned} x-3y-2z &=1-3\cdot(-1)-2\cdot 2 \\ &= 1+3-4 \\ &= 4-4 \\ &=0 \\ -x+2y-\phantom{2}z &= -1 + 2\cdot(-1)-2 \\ &= -1-2-2 \\ &= -3-2 \\ &= -5 \\ 3x+4y+\phantom{2}z &= 3\cdot 1 + 4\cdot (-1) + 2 \\ &= 3-4+2 \\ &= -1 + 2 \\ &= 1 \end{aligned}\right. $$ Kaikki yhtälöt toteutuvat, joten yhtälöryhmän ratkaisu on $x = 1$, $y = -1$ ja $z = 2$.

Edellä opeteltiin ratkaisemaan yhtälöryhmiä niin sanotun sijoitusmenetelmän avulla. Yhtälöryhmiä voidaan ratkaista muillakin menetelmillä. Edellisen tehtävän yhtälöryhmä on esimerkki lineaarisesta yhtälöryhmästä, jollaisia voidaan ratkaista myös niin sanotun Gaussin eliminointimenetelmän avulla. Yhden ratkaisutavan hallitseminen kuitenkin riittää tällä kurssilla.

Edellisessä luvussa jaettiin $xy$-tason vektoreita komponentteihin piirrosten avulla päättelemällä. Esimerkiksi alla olevasta kuvasta nähdään, että vektori $\va = 6\vi + 3\vj$ voidaan kirjoittaa muodossa $\va = 5\vv + 4\vw$, missä $\vv = 2\vi-\vj$ ja $\vw = -\vi+2\vj$. Vektorit $5\vv$ ja $4\vw$ ovat siis vektorin $\va$ vektorien $\vv$ ja $\vw$ suuntaiset komponentit.

Kolmiulotteisen avaruuden vektorin jakaminen komponentteihin ei yleensä onnistu piirroksen avulla, vaan siinä vaaditaan yhtälöryhmän ratkaisemista. Esimerkiksi jos vektori $\vv = 2\vi + 3\vk$ halutaan jakaa vektoreiden $\va = \vi-\vj$, $\vb = \vj + \vk$ ja $\vc = \vi + \vj + \vk$ suuntaisiin komponentteihin, on etsittävä kertoimet $x$, $y$ ja $z$, jotka toteuttavat yhtälön $$\vv = x\va + y\vb + z\vc.$$ Tämä yhtälö voidaan kirjoittaa myös muodossa $$2\vi + 3\vk = x(\vi-\vj) + y(\vj + \vk) + z(\vi + \vj + \vk).$$ Kertomalla yhtälön oikealla puolella sulut auki yhtälö saadaan muotoon $$2\vi + 3\vk = x\vi-x\vj + y\vj + y\vk + z\vi + z\vj + z\vk.$$ Yhtälön oikeaa puolta voidaan vielä sieventää laskemalla yhteen vektoreiden $\vi$, $\vj$ ja $\vk$ skalaarimonikerrat: $$2\vi + 3\vk = (x+z)\vi + (-x+y+z)\vj + (y+z)\vk.$$ Vektoreiden samuuden määritelmän mukaan tämä yhtälö toteutuu, jos ja vain jos yhtälön eri puolilla olevat vektorit voidaan ilmaista samalla tavalla vektoreiden $\vi$, $\vj$ ja $\vk$ avulla eli $$ \left\{\begin{aligned} x+z &= 2 \\ -x+y+z &= 0 \\ y + z &= 3. \end{aligned}\right. $$ Vektorin $\vv$ vektoreiden $\va$, $\vb$ ja $\vc$ suuntaiset komponentit saadaan määritettyä ratkaisemalla yllä oleva yhtälöryhmä.

Kolmiulotteisen koordinaatiston vektoreiden pistetulo määritellään samaan tapaan kuin $xy$-koordinaatiston vektoreiden pistetulo:

Kolmiulotteisen avaruuden vektoreiden pistetulolla on samat ominaisuudet kuin $xy$-koordinaatiston vektoreiden pistetulolla. Näistä tärkeimmät on koottu alla olevaan teoreemaan, jotka on perusteltu $xy$-koordinaatiston tapauksessa edellisessä luvussa.

Tutkitaan seuraavaksi vektoreiden välisen kulman ja pistetulon yhteyttä. Jos vektoreiden $\vv$ ja $\vw$ välinen kulma on oikokulma eli $\sphericalangle(\vv,\vw) = 180^\circ$, ovat vektorit $\vv$ ja $\vw$ vastakkaissuuntaiset. Tällöin on olemassa sellainen negatiivinen reaaliluku $r$, että $\vv = r\vw$. Vektoreiden $\vv$ ja $\vw$ pistetuloksi saadaan näin $$ \begin{align*} \vv \cdot \vw &= (r\vw) \cdot \vw \\ &= r(\vw\cdot \vw) \\ &= \textcolor{red}{r\left|\vw\right|^2}. \end{align*} $$ Toisaalta vektoreiden $\vv$ ja $\vw$ pituuksien tuloksi saadaan $$ \begin{align*} \left|\vv\right|\left|\vw\right| &= \left|r\vw\right| \left|\vw\right| \\ &= \left|r\right|\left|\vw\right| \left|\vw\right| \\ &= \left|r\right|\left|\vw\right|^2 \\ &= -r\left|\vw\right|^2. \end{align*} $$ Huomaa, että koska luku $r$ on negatiivinen, on sen itseisarvo sama kuin sen vastaluku $-r$. Esimerkiksi jos $r= -2$, niin $\left|r\right| = \left|-2\right| = -(-2) = 2$.

Vektoreiden $\vv$ ja $\vw$ pituuksien tuloksi saatiin siis $$ \left|\vv\right|\left|\vw\right| = -r\left|\vw\right|^2. $$ Kerrotaan tämän yhtälön molemmat puolet luvulla $-1$. Koska $\cos (\vv, \vw) = \cos 180^\circ = -1$, voidaan näin saatu yhtälö kirjoittaa myös muodossa $$ \left|\vv\right|\left|\vw\right|\cos (\vv, \vw) = \textcolor{blue}{r\left|\vw\right|^2}. $$ Huomataan, että $\textcolor{blue}{\text{tässä}}$ $\textcolor{blue}{\text{saatu}}$ $\textcolor{blue}{\text{tulos}}$ on sama kuin edellä $\textcolor{red}{\text{vektoreiden}}$ $\textcolor{red}{\text{pistetulosta}}$ $\textcolor{red}{\text{saatu}}$ $\textcolor{red}{\text{tulos}}$. Siten voidaan päätellä, että $$ \vv \cdot \vw = \left|\vv\right| \left|\vw\right| \cos (\vv, \vw). $$

Jos vektoreiden välinen kulma on suurempi kuin $0^\circ$ ja pienempi kuin $180^\circ$, voidaan vektoreista muodostaa kolmio, jonka kylkinä tarkasteltavat vektorit ovat. Vektoreiden välinen kulma voidaan tällöin laskea Geometria-kurssista tutun kosinilauseen avulla.

Kosinilause on Pythagoraan lauseen yleistys. Pythagoraan lause pätee ainoastaan suorakulmaisille kolmioille, mutta kosinilausetta voi käyttää kaikille kolmioille. Kosinilauseen mukaan alla olevan kuvan kolmiossa $$ c^2=a^2+b^2-2ab \cos \gamma. $$

Jos kolmion sivujen pituudet ajatellaan vektoreiden pituuksina kuten alla olevassa kuvassa, saadaan kosinilauseesta yhtälö $$ |\vv-\vw|^2=|\vv|^2+|\vw|^2-2|\vv||\vw| \cos(\vv,\vw). $$

Kosinilauseen ja pistetulon ominaisuuksien avulla saadaan perusteltua seuraava edellisestä luvusta tuttu teoreema, joka yhdistää pistetulon ja vektoreiden välisen kulman.

Varmista, että olet oppinut tämän luvun keskeiset asiat tekemällä itsearviointitesti opetus.tv:n polku-palvelussa. Samalla harjoittelet omien ratkaisujesi pisteyttämistä pisteytysohjeiden avulla.

Ole hyvä ja anna vielä palautetta kurssimateriaalista, jotta voimme kehittää materiaalia tulevia osioita sekä tulevia kursseja varten.